在2021年的高中希望杯数学竞赛中，参赛者们面对了一系列富有挑战性和创新性的题目。这些题目不仅考察了学生的数学基础知识，还考验了他们的逻辑推理能力与解题技巧。以下是部分经典题目的详细解析。

题目一：

已知函数f(x) = ax^2 + bx + c满足f(1) = 5, f(-1) = -3, f(2) = 11，求a, b, c的值。

解析：

根据题意，将x=1, x=-1, x=2代入函数表达式得到以下三个方程：

1. \( a + b + c = 5 \)

2. \( a - b + c = -3 \)

3. \( 4a + 2b + c = 11 \)

通过联立方程组求解，首先由第一和第二个方程相减消去c，得到\( 2b = 8 \)，即\( b = 4 \)。然后将\( b = 4 \)代入第一个方程，得到\( a + 4 + c = 5 \)，即\( a + c = 1 \)。再将\( b = 4 \)代入第三个方程，得到\( 4a + 8 + c = 11 \)，即\( 4a + c = 3 \)。最后联立\( a + c = 1 \)和\( 4a + c = 3 \)，解得\( a = \frac{2}{3} \)，\( c = \frac{1}{3} \)。

因此，\( a = \frac{2}{3}, b = 4, c = \frac{1}{3} \)。

题目二：

设等差数列\(\{a_n\}\)的首项为1，公差为d，且前n项和为S_n。若S_6 = 21，求d的值。

解析：

等差数列的前n项和公式为\( S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] \)。将已知条件代入公式，得到：

\[ S_6 = \frac{6}{2}[2 \cdot 1 + (6-1)d] = 21 \]

简化后得：

\[ 3[2 + 5d] = 21 \]

\[ 6 + 15d = 21 \]

\[ 15d = 15 \]

\[ d = 1 \]

所以，公差\( d = 1 \)。

总结：

以上两道题目分别涉及二次函数的系数求解和等差数列的性质应用。希望上述解析能帮助同学们更好地理解和掌握相关知识点。希望杯数学竞赛旨在激发学生对数学的兴趣，提升其解决问题的能力，期待每位参赛者都能从中受益匪浅。