在高等数学的学习过程中，适量的练习是巩固知识和提升能力的重要途径。接下来，我们来探讨几个典型的高数练习题目。

题目一：极限计算

求函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4} \) 当 \( x \to 2 \) 时的极限。

解析：

首先观察分子与分母是否有公因式可约。注意到 \( x^3 - 8 \) 是一个立方差公式，可以分解为 \( (x-2)(x^2 + 2x + 4) \)，而 \( x^2 - 4 \) 可以分解为 \( (x-2)(x+2) \)。因此，原式可以化简为：

\[ f(x) = \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{(x-2)(x+2)} \]

当 \( x \neq 2 \) 时，\( x-2 \) 可以约去，得到：

\[ f(x) = \frac{x^2 + 2x + 4}{x+2} \]

现在计算 \( x \to 2 \) 的极限：

\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x+2} = \frac{2^2 + 2\cdot2 + 4}{2+2} = \frac{4 + 4 + 4}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]

所以，\( \lim_{x \to 2} f(x) = 3 \)。

题目二：导数计算

设函数 \( g(x) = \ln(x^2 + 1) \)，求其导数 \( g'(x) \)。

解析：

利用链式法则和对数函数的导数公式 \( (\ln u)' = \frac{u'}{u} \)，我们可以得到：

\[ g'(x) = \frac{d}{dx} \ln(x^2 + 1) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) \]

由于 \( \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x \)，所以：

\[ g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \]

因此，函数 \( g(x) \) 的导数为 \( g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)。

题目三：积分计算

计算不定积分 \( \int x e^{x^2} dx \)。

解析：

这里可以使用换元法。令 \( u = x^2 \)，则 \( du = 2x dx \)，即 \( x dx = \frac{1}{2} du \)。代入原积分，得到：

\[ \int x e^{x^2} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du \]

我们知道 \( \int e^u du = e^u + C \)，因此：

\[ \int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \]

最终结果为：

\[ \int x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \]

以上就是几个典型的高数练习题及其详细解答。通过这些题目，我们可以更好地理解和掌握高等数学的基本概念和方法。希望同学们能够通过不断练习，提高自己的解题能力和数学素养。