在数学领域中，一元二次方程是极为基础且重要的知识点之一。其标准形式为 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a, b, c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。对于这类方程，我们常常需要判断其根的情况，而根的判别式就是解决这一问题的关键工具。
根的判别式的定义
根的判别式通常用符号 \( \Delta \) 表示，计算公式为：
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
这个公式由方程的系数 \( a, b, c \) 构成，能够帮助我们快速确定方程的根的性质。
根据判别式的值判断根的情况
根据判别式 \( \Delta \) 的取值，可以得出以下结论：
1. 当 \( \Delta > 0 \)
方程有两个不相等的实数根。这意味着抛物线与 x 轴有两个交点。
2. 当 \( \Delta = 0 \)
方程有一个重根（即两个相同的实数根）。此时，抛物线与 x 轴仅有一个切点。
3. 当 \( \Delta < 0 \)
方程没有实数根，而是有一对共轭复数根。这表明抛物线完全位于 x 轴的上方或下方。
具体案例分析
让我们通过几个具体例子来进一步理解根的判别式的作用。
例题 1：
解方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。
- 系数为 \( a = 1, b = -5, c = 6 \)。
- 计算判别式：
\[
\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1
\]
因为 \( \Delta > 0 \)，所以方程有两个不相等的实数根。利用求根公式可得：
\[
x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = 3, \quad x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = 2
\]
例题 2：
解方程 \( x^2 + 4x + 4 = 0 \)。
- 系数为 \( a = 1, b = 4, c = 4 \)。
- 计算判别式：
\[
\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0
\]
因为 \( \Delta = 0 \)，所以方程有一个重根。利用求根公式可得：
\[
x = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2
\]
例题 3：
解方程 \( x^2 + x + 1 = 0 \)。
- 系数为 \( a = 1, b = 1, c = 1 \)。
- 计算判别式：
\[
\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]
因为 \( \Delta < 0 \)，所以方程没有实数根，而是有一对共轭复数根。利用求根公式可得：
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}
\]
总结
根的判别式是研究一元二次方程的重要工具，它不仅能够帮助我们快速判断方程的根的情况，还能指导后续的解题过程。掌握好这一知识点，对于学习更复杂的数学问题大有裨益。
希望本文能为大家提供清晰的理解和实用的帮助！
