【作商比较大小】在数学学习中，比较两个数的大小是一个常见的问题。通常，我们可以通过直接计算它们的差值来判断大小关系，即“作差比较法”。但除了这种方法外，还有一种更为巧妙且适用于某些特殊情境的比较方法——“作商比较法”。

“作商比较大小”是指通过将两个正数相除，得到一个商，再根据这个商与1的大小关系来判断原数的大小。这种方法在处理涉及分数、指数或乘积形式的数值比较时尤为有效。

一、作商比较的基本原理

假设我们有两个正数 $ a $ 和 $ b $，若 $ a > 0 $，$ b > 0 $，我们可以构造一个商 $ \frac{a}{b} $。根据这个商的值：

- 如果 $ \frac{a}{b} > 1 $，则说明 $ a > b $；

- 如果 $ \frac{a}{b} = 1 $，则说明 $ a = b $；

- 如果 $ \frac{a}{b} < 1 $，则说明 $ a < b $。

这个方法的核心在于利用了分数的性质，即当分子大于分母时，分数大于1；反之则小于1。

二、适用场景

作商比较法特别适合以下几种情况：

1. 涉及幂运算的比较：例如比较 $ 2^{10} $ 与 $ 3^7 $ 的大小。

2. 含有根号或分数的表达式：如比较 $ \sqrt{2} $ 与 $ \frac{3}{2} $ 的大小。

3. 变量较多的代数表达式：比如比较两个函数在某点的值大小。

这些情况下，直接作差可能较为复杂，而作商可以简化计算过程。

三、实际应用举例

例题1：比较 $ 2^{10} $ 与 $ 3^7 $ 的大小

我们可以先计算两者的近似值：

- $ 2^{10} = 1024 $

- $ 3^7 = 2187 $

显然，$ 2187 > 1024 $，因此 $ 3^7 > 2^{10} $。

但如果使用作商法：

$$

\frac{2^{10}}{3^7} = \frac{1024}{2187} \approx 0.468 < 1

$$

所以 $ 2^{10} < 3^7 $，结果一致。

例题2：比较 $ \sqrt{5} $ 与 $ \frac{3}{2} $ 的大小

计算其商：

$$

\frac{\sqrt{5}}{\frac{3}{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{3}

$$

由于 $ \sqrt{5} \approx 2.236 $，则：

$$

\frac{2 \times 2.236}{3} \approx \frac{4.472}{3} \approx 1.49 > 1

$$

因此，$ \sqrt{5} > \frac{3}{2} $。

四、注意事项

1. 仅适用于正数：作商比较的前提是两个数都为正数，否则无法保证商的符号和大小关系的正确性。

2. 避免零的出现：如果其中一个数为0，则不能进行作商比较。

3. 注意分母的非零性：确保分母不为0，否则无法进行有效比较。

五、总结

“作商比较大小”是一种灵活且实用的数学技巧，尤其在处理复杂表达式时能显著简化运算过程。掌握这一方法不仅能提高解题效率，还能增强对数与代数关系的理解。在日常学习和考试中，合理运用作商比较法，往往能够帮助我们更快地找到答案。