【高等数学公式大全(完整版)】在学习和研究高等数学的过程中，掌握各类数学公式是必不可少的。无论是微积分、线性代数、微分方程还是概率统计，公式都是解决问题的核心工具。本文将系统整理高等数学中常见的各类公式，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、函数与极限
1. 极限基本性质
- 若 $\lim_{x \to a} f(x) = L$，$\lim_{x \to a} g(x) = M$，则：
- $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$
- $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$
- $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$（当 $M \neq 0$）
2. 重要极限
- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
- $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
3. 无穷小量比较
- 若 $\alpha \sim \beta$，则 $\lim_{x \to a} \frac{\alpha}{\beta} = 1$
二、导数与微分
1. 导数定义
- $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
2. 基本求导法则
- $(u \pm v)' = u' \pm v'$
- $(uv)' = u'v + uv'$
- $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
3. 常见函数导数
- $(x^n)' = nx^{n-1}$
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $(e^x)' = e^x$
- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
4. 高阶导数
- $f^{(n)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的第 $n$ 阶导数
5. 微分形式
- $dy = f'(x) dx$
三、积分
1. 不定积分基本公式
- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）
- $\int \sin x dx = -\cos x + C$
- $\int \cos x dx = \sin x + C$
- $\int e^x dx = e^x + C$
- $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$
2. 换元积分法
- 设 $u = g(x)$，则 $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du$
3. 分部积分法
- $\int u dv = uv - \int v du$
4. 定积分
- $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数
5. 牛顿-莱布尼茨公式
- $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$
四、微分方程
1. 一阶线性微分方程
- 形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$
- 解法：使用积分因子法，解为
$$
y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) dx + C \right)
$$
其中 $\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$
2. 可分离变量方程
- 形式：$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$
- 解法：分离变量后两边积分
3. 齐次方程
- 形式：$\frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)$
- 解法：令 $v = \frac{y}{x}$，转化为关于 $v$ 的方程
五、级数
1. 常数项级数收敛判别法
- 比值判别法：若 $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L < 1$，则收敛
- 根值判别法：若 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L < 1$，则收敛
- 比较判别法：若 $0 \leq a_n \leq b_n$，且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 也收敛
2. 泰勒级数展开
- $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
3. 常用泰勒展开
- $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
- $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
- $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
六、向量与空间解析几何
1. 向量运算
- 向量加法：$\vec{a} + \vec{b}$
- 数乘：$k\vec{a}$
- 点积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
- 叉积：$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \hat{n}$
2. 平面与直线方程
- 平面一般式：$Ax + By + Cz + D = 0$
- 直线参数式：$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$
七、多元函数微积分
1. 偏导数
- $\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示对 $x$ 的偏导数
2. 全微分
- $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$
3. 极值判定
- 对于函数 $f(x, y)$，若在某点 $(x_0, y_0)$ 处有驻点，且二阶偏导数满足：
$$
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 > 0
$$
则该点为极值点；若 $D < 0$，则为鞍点。
八、概率与统计基础公式
1. 概率公式
- 加法公式：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- 条件概率：$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$（$P(B) \neq 0$）
- 贝叶斯公式：$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
2. 期望与方差
- 数学期望：$E(X) = \sum x_i P(x_i)$
- 方差：$Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2$
结语
高等数学是一门内容丰富、逻辑严谨的学科，掌握其核心公式不仅是学习的基础，更是解决实际问题的关键。通过不断练习和理解，可以逐步提高自己的数学素养和分析能力。希望本篇“高等数学公式大全”能够成为你学习道路上的得力助手。
