【平面向量坐标运算知识点】在高中数学中，平面向量的坐标运算是一个重要的内容，它将向量与坐标系相结合，便于进行几何问题的代数化处理。掌握好向量的坐标表示及其运算规则，有助于理解向量的几何意义和实际应用。

一、平面向量的坐标表示

平面向量可以用坐标来表示。设点 $ A(x_1, y_1) $ 和点 $ B(x_2, y_2) $，则向量 $ \vec{AB} $ 的坐标为：

$$

\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)

$$

即，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标。

二、平面向量的坐标运算

1. 向量加法

设 $ \vec{a} = (x_1, y_1) $，$ \vec{b} = (x_2, y_2) $，则：

$$

\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)

$$

说明：向量加法是对应坐标的相加。

2. 向量减法

$$

\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)

$$

说明：向量减法是对应坐标的相减。

3. 数乘运算

设 $ k $ 为实数，则：

$$

k\vec{a} = (kx_1, ky_1)

$$

说明：数乘是将向量的每个坐标都乘以该实数。

4. 向量的模（长度）

向量 $ \vec{a} = (x, y) $ 的模为：

$$

$$

说明：这是根据勾股定理计算的向量长度。

5. 向量的夹角

若两个向量 $ \vec{a} = (x_1, y_1) $、$ \vec{b} = (x_2, y_2) $，则它们的夹角 $ \theta $ 满足：

$$

\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{a}\vec{b}}

$$

其中，$ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 $ 是向量的数量积。

三、常见公式总结表

四、注意事项

- 向量的坐标运算必须保持方向性，不能随意交换位置。

- 向量的模是一个非负实数，代表向量的大小。

- 数乘运算可以改变向量的方向或大小，但不改变其方向（当数为正）或反向（当数为负）。

- 向量的加减法符合平行四边形法则或三角形法则。

通过以上知识的系统梳理，可以帮助学生更好地理解和应用平面向量的坐标运算，在解决几何、物理等问题时更加得心应手。

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