在数学分析中，泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法。这种级数以其发明者布鲁克·泰勒（Brook Taylor）的名字命名，广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。本文将介绍10个最常用的泰勒级数展开公式。

1. 指数函数 \( e^x \)

\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

2. 自然对数 \( \ln(1+x) \)

\[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \]

3. 正弦函数 \( \sin(x) \)

\[ \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

4. 余弦函数 \( \cos(x) \)

\[ \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \]

5. 幂函数 \( (1+x)^a \)

\[ (1+x)^a = \sum_{n=0}^\infty \binom{a}{n} x^n = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \cdots \]

6. 反正切函数 \( \arctan(x) \)

\[ \arctan(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots \]

7. 双曲正弦函数 \( \sinh(x) \)

\[ \sinh(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \]

8. 双曲余弦函数 \( \cosh(x) \)

\[ \cosh(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \]

9. 幂级数 \( \frac{1}{1-x} \)

\[ \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \]

10. 幂级数 \( \frac{1}{\sqrt{1-x}} \)

\[ \frac{1}{\sqrt{1-x}} = \sum_{n=0}^\infty \binom{-\frac{1}{2}}{n} (-x)^n = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 + \cdots \]

这些泰勒级数公式是数学中的基本工具，广泛应用于各种领域。掌握这些公式不仅有助于解决复杂的数学问题，还能在实际应用中提供极大的便利。希望本文能帮助读者更好地理解和应用这些重要的数学工具。