在数学的学习过程中，指数函数是一个非常重要的知识点。它不仅在理论研究中占据重要地位，同时也是实际问题解决中的得力工具。为了帮助大家更好地掌握这一部分知识，下面我们将通过一些精选的考试题目来巩固和检验对指数函数的理解。

题目一：

已知函数 \( f(x) = 3^{x} \)，求其导数，并计算当 \( x=2 \) 时的导数值。

解答：

根据幂函数求导法则，若 \( f(x) = a^x \)，则 \( f'(x) = a^x \ln(a) \)。因此，

\[ f'(x) = 3^x \ln(3) \]

当 \( x=2 \) 时，

\[ f'(2) = 3^2 \ln(3) = 9\ln(3) \]

题目二：

设 \( g(x) = e^{2x} + e^{-2x} \)，试证明 \( g(x) \) 是偶函数。

解答：

要证明 \( g(x) \) 是偶函数，即需要验证 \( g(-x) = g(x) \) 对于所有 \( x \) 成立。

\[ g(-x) = e^{-2x} + e^{2x} = g(x) \]

因此，\( g(x) \) 确实是偶函数。

题目三：

解方程 \( 2^{x+1} - 5 \cdot 2^x + 4 = 0 \)。

解答：

首先将方程改写为：

\[ 2 \cdot 2^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0 \]

合并同类项后得到：

\[ (2-5) \cdot 2^x + 4 = 0 \]

即：

\[ -3 \cdot 2^x + 4 = 0 \]

进一步化简为：

\[ 2^x = \frac{4}{3} \]

取对数即可得到：

\[ x = \log_2{\left(\frac{4}{3}\right)} \]

以上就是几个关于指数函数的基本题目及其解答。希望这些练习能够帮助你加深对指数函数的理解与应用能力。如果你还有其他疑问或需要更多练习，请随时提问！