在大学数学课程中，线性代数是一个重要的分支，它不仅为后续学习提供了基础，还广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。其中，行列式的计算是线性代数中的核心内容之一。本文将以习题课的形式，通过实例讲解如何高效地进行行列式的计算。

首先，我们需要明确行列式的定义及其几何意义。一个n阶方阵A的行列式记作det(A)，它表示的是由矩阵元素组成的平行多面体的体积（或有符号体积）。对于2×2和3×3的小型矩阵，我们可以通过简单的公式直接计算行列式：

- 对于2×2矩阵 \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\)，其行列式为 \(ad - bc\)。

- 对于3×3矩阵 \(\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}\)，其行列式为 \(a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\)。

接下来，我们将通过几个具体的例子来演示行列式的计算方法。

例1

计算行列式 \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}\)。

根据2×2矩阵的行列式公式，结果为：

\[

1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2

\]

例2

计算行列式 \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\)。

利用3×3矩阵的行列式展开公式，选择第一行展开：

\[

1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}

\]

分别计算每个小的2×2行列式，最终得到结果为0。

技巧与注意事项

1. 简化计算：当矩阵中有大量零元素时，优先选择这些零元素所在的行或列展开，以减少计算量。

2. 观察性质：如果行列式中存在两行或两列完全相同，则行列式值为0；若某一行或列的所有元素均为0，则行列式值也为0。

3. 递归展开：对于更高阶的矩阵，可以多次应用上述方法逐步降低矩阵的阶数。

通过以上内容的学习，希望大家能够掌握行列式的基本计算方法，并能在实际问题中灵活运用。线性代数的学习需要不断的练习与总结，希望同学们能够在实践中不断提高自己的能力！

（本文内容为原创，旨在帮助理解线性代数的核心概念，避免机械记忆，鼓励独立思考。）