在数学领域中，韦达定理是一个非常经典且重要的结论，它主要应用于一元二次方程的研究。该定理以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名，揭示了二次方程根与系数之间的关系。本文将从二次方程的基本形式出发，逐步推导出韦达定理的核心公式。
一、二次方程的一般形式
设一个标准的一元二次方程为：
\[
ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)
\]
其中，\(a\)、\(b\)、\(c\)分别是二次项系数、一次项系数和常数项，而\(x\)是未知数。根据代数理论，当判别式\(\Delta = b^2 - 4ac \geq 0\)时，该方程有两个实数解或相等实数解。
二、求解二次方程的根
利用求根公式，可以得到方程的两个根：
\[
x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
这里，\(\pm\)表示取正值和负值两种情况，分别对应两个不同的根。
三、韦达定理的推导
1. 根的和
我们先计算两根之和：
\[
x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
合并分子后可得：
\[
x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}
\]
因此，两根之和等于\(-\frac{b}{a}\)。
2. 根的积
接下来计算两根之积：
\[
x_1 \cdot x_2 = \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \cdot \left( \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right)
\]
这是一个典型的两数和乘积公式，即\((p+q)(p-q) = p^2 - q^2\)。应用此公式后得到：
\[
x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{(2a)^2}
\]
进一步化简：
\[
x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}
\]
因此，两根之积等于\(\frac{c}{a}\)。
四、总结
通过上述推导，我们可以得出韦达定理的两条核心结论：
1. 两根之和：\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)；
2. 两根之积：\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)。
这两个结论不仅简洁明了，而且具有广泛的应用价值。例如，在解析几何、物理问题以及工程计算等领域，韦达定理常常作为解决复杂问题的基础工具。
希望本文能够帮助读者深入理解韦达定理的推导过程，并在实际应用中灵活运用这一重要工具！
