一、教学目标：

1. 知识与技能：理解并掌握最大公因数（GCD）和最小公倍数（LCM）的概念，能够运用列举法、分解质因数法或短除法求出两个或多个数的最大公因数和最小公倍数。

2. 过程与方法：通过实际问题的引入，引导学生探索两种数之间的关系，培养学生的逻辑思维能力和归纳总结能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，体会数学在现实生活中的应用价值，增强合作学习的意识。

二、教学重点与难点：

- 重点：掌握求最大公因数和最小公倍数的方法。

- 难点：理解最大公因数与最小公倍数之间的关系，并能灵活运用。

三、教学准备：

- 教具：多媒体课件、练习题卡、黑板、粉笔

- 学生准备：练习本、铅笔、橡皮

四、教学过程：

1. 情境导入（5分钟）

教师提问：“同学们，你们有没有遇到过需要把一些物品平均分的情况？比如，有12个苹果和18个橘子，要分别分成若干组，每组数量相同，而且不能有剩余。你们觉得怎么分最合适？”

引导学生思考如何将两个数同时整除，引出“公因数”的概念。

2. 新知讲解（15分钟）

（1）最大公因数（GCD）

- 定义：几个数的公有因数中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。

- 方法：

- 列举法：列出每个数的所有因数，找出共同的因数，再选出最大的。

- 分解质因数法：将每个数分解质因数，取公共质因数相乘。

- 短除法：用相同的质数去除，直到商互质为止，再将除数相乘。

（2）最小公倍数（LCM）

- 定义：几个数的公有倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

- 方法：

- 列举法：列出每个数的倍数，找到最小的共同倍数。

- 分解质因数法：将每个数分解质因数，取所有质因数的最高次幂相乘。

- 短除法：用相同的质数去除，直到商互质为止，再将所有除数和最后的商相乘。

3. 合作探究（10分钟）

将学生分为小组，完成以下任务：

- 任务一：求12和18的最大公因数和最小公倍数。

- 任务二：观察这两个数之间的关系，尝试总结规律。

教师巡视指导，鼓励学生互相交流，分享各自的解题思路。

4. 规律总结（5分钟）

引导学生发现：对于两个数a和b，有如下关系：

$$

\text{GCD}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b

$$

让学生用自己的语言解释这个公式的意义，并举例说明。

5. 巩固练习（10分钟）

出示几道练习题，如：

- 求16和24的最大公因数和最小公倍数。

- 求20和30的最大公因数和最小公倍数。

- 已知两个数的积为240，最大公因数为8，求最小公倍数。

学生独立完成，教师进行个别辅导。

6. 小结与作业（5分钟）

- 小结：今天我们学习了最大公因数和最小公倍数的定义、求法以及它们之间的关系。

- 作业：完成课本第XX页的练习题，并思考：如果三个数之间如何求最大公因数和最小公倍数？

五、板书设计：

```

最大公因数（GCD） 最小公倍数（LCM）

定义：公有因数中最大的 定义：公有倍数中最小的

方法：列举法、分解法、短除法方法：列举法、分解法、短除法

关系式：GCD × LCM = a × b

```

六、教学反思（课后填写）

本节课通过生活情境引入新知，结合小组合作与自主探究，提高了学生的参与度和理解力。部分学生在应用公式时仍存在混淆，需在后续课程中加强巩固训练。