【点到线的距离公式。】在几何学中，点到直线的距离是一个重要的概念，广泛应用于数学、物理、工程等多个领域。点到直线的距离是指从该点向这条直线作垂线，垂足与该点之间的线段长度。下面将对点到直线的距离公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、点到直线距离的定义
给定一个平面直角坐标系中的点 $ P(x_0, y_0) $ 和一条直线 $ L $，其方程为 $ Ax + By + C = 0 $，那么点 $ P $ 到直线 $ L $ 的距离 $ d $ 是指从点 $ P $ 向直线 $ L $ 所作的垂直线段的长度。
二、点到直线的距离公式
点 $ P(x_0, y_0) $ 到直线 $ Ax + By + C = 0 $ 的距离公式为：
$$
d = \frac{
$$
其中：
- $ A $、$ B $、$ C $ 是直线的一般式系数；
- $ x_0 $、$ y_0 $ 是点的坐标；
- 分母是直线方向向量的模长（即法向量的模）；
- 分子是点代入直线方程后的绝对值。
三、不同形式的直线方程对应的公式
以下是几种常见的直线方程形式及其对应的点到直线距离公式：
| 直线方程形式 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 一般式 | $ d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + C | }{\sqrt{A^2 + B^2}} $ | 适用于任意直线 |
| 斜截式 | $ d = \frac{ | kx_0 - y_0 + b | }{\sqrt{k^2 + 1}} $ | $ y = kx + b $ 的形式 |
| 点斜式 | $ d = \frac{ | y_0 - y_1 - k(x_0 - x_1) | }{\sqrt{k^2 + 1}} $ | 已知一点和斜率 |
| 两点式 | $ d = \frac{ | (y_2 - y_1)x_0 - (x_2 - x_1)y_0 + x_2y_1 - x_1y_2 | }{\sqrt{(y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2}} $ | 已知两点求直线方程后使用一般式 |
四、注意事项
1. 符号问题：公式中使用了绝对值，因此结果始终为非负数。
2. 直线方程的标准化：若直线方程不是标准形式（如含有分母或系数不为整数），应先将其转化为一般式 $ Ax + By + C = 0 $。
3. 特殊位置：当点位于直线上时，距离为零；当点与直线平行时，距离保持恒定。
五、应用举例
假设点 $ P(2, 3) $，直线 $ L: 3x - 4y + 5 = 0 $，则点到直线的距离为：
$$
d = \frac{
$$
总结
点到直线的距离公式是解析几何中的基本工具之一，能够帮助我们快速计算点与直线之间的最短距离。掌握不同形式的直线方程对应的公式有助于在实际问题中灵活运用。通过理解公式的结构和意义，可以更深入地掌握几何与代数之间的联系。
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