【xsinxcosx的定积分是多少】在数学中，计算函数 $ x\sin x \cos x $ 的定积分是一个常见的问题。这个函数可以通过三角恒等式进行简化，从而更方便地进行积分运算。以下是对该函数定积分的总结与分析。
一、函数解析
函数 $ x\sin x \cos x $ 可以利用三角恒等式进行化简：
$$
\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)
$$
因此，
$$
x\sin x \cos x = \frac{1}{2} x \sin(2x)
$$
这样，原函数就转化为：
$$
\int x \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2} \int x \sin(2x) \, dx
$$
接下来，我们可以通过分部积分法来求解这个积分。
二、分部积分法求解
设：
- $ u = x $，则 $ du = dx $
- $ dv = \sin(2x) dx $，则 $ v = -\frac{1}{2} \cos(2x) $
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} x \cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) dx \right
$$
继续积分：
$$
= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} x \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x) \right] + C
$$
最终结果为：
$$
\int x \sin x \cos x \, dx = -\frac{1}{4} x \cos(2x) + \frac{1}{8} \sin(2x) + C
$$
三、定积分计算示例（从 $ a $ 到 $ b $）
若要计算从 $ a $ 到 $ b $ 的定积分，则可代入上下限：
$$
\int_{a}^{b} x \sin x \cos x \, dx = \left[ -\frac{1}{4} x \cos(2x) + \frac{1}{8} \sin(2x) \right]_a^b
$$
四、总结表格
| 内容 | 说明 |
| 原函数 | $ x\sin x \cos x $ |
| 化简形式 | $ \frac{1}{2} x \sin(2x) $ |
| 积分方法 | 分部积分法 |
| 不定积分结果 | $ -\frac{1}{4} x \cos(2x) + \frac{1}{8} \sin(2x) + C $ |
| 定积分表达式 | $ \left[ -\frac{1}{4} x \cos(2x) + \frac{1}{8} \sin(2x) \right]_a^b $ |
五、小结
通过对 $ x\sin x \cos x $ 的化简与分部积分法的应用，我们可以得到其不定积分和定积分的表达式。这种类型的积分在物理和工程中常用于处理周期性变化的系统，如振动、波动等问题。掌握这类积分技巧对于进一步学习微积分和应用数学非常有帮助。
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