【2024高考数学必考题型例题】随着2024年高考的临近，考生们正全力以赴地备战。数学作为高考中的重要科目，其分值高、难度大，一直是考生关注的焦点。为了帮助广大考生更好地掌握考试重点，本文将针对近年来高考数学中高频出现的题型进行分析，并结合典型例题进行讲解，助力考生高效备考。

一、函数与导数

函数与导数是高考数学的核心内容之一，常以选择题、填空题或解答题的形式出现。考查的重点包括函数的单调性、极值、最值、图像变换以及导数的应用等。

例题1：

已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，求其在区间 $[0, 2]$ 上的最大值和最小值。

解析：

首先求导：

$$

f'(x) = 3x^2 - 3

$$

令导数为零，解得：

$$

3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1

$$

由于我们只考虑区间 $[0, 2]$，所以取 $ x = 1 $。

接下来计算端点和临界点的函数值：

- $ f(0) = 0^3 - 3 \times 0 + 1 = 1 $

- $ f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 $

- $ f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 $

因此，最大值为 $ f(2) = 3 $，最小值为 $ f(1) = -1 $。

二、数列与不等式

数列问题在高考中通常涉及等差数列、等比数列的通项公式、前n项和及递推关系。而与不等式相关的题目则多用于考察逻辑推理和综合应用能力。

例题2：

已知等差数列 $ \{a_n\} $ 的前四项和为 20，且第五项是第10项的两倍，求该数列的通项公式。

解析：

设首项为 $ a $，公差为 $ d $，则有：

- 第四项为 $ a + 3d $

- 前四项和为 $ 4a + 6d = 20 $

- 第五项为 $ a + 4d $

- 第十项为 $ a + 9d $

根据题意：

$$

a + 4d = 2(a + 9d)

$$

展开并整理：

$$

a + 4d = 2a + 18d \Rightarrow -a = 14d \Rightarrow a = -14d

$$

代入前四项和的方程：

$$

4(-14d) + 6d = 20 \Rightarrow -56d + 6d = 20 \Rightarrow -50d = 20 \Rightarrow d = -\frac{2}{5}

$$

则 $ a = -14 \times (-\frac{2}{5}) = \frac{28}{5} $

因此，通项公式为：

$$

a_n = \frac{28}{5} + (n - 1)(-\frac{2}{5}) = \frac{28}{5} - \frac{2(n - 1)}{5}

$$

三、立体几何与空间向量

立体几何部分主要考查空间图形的性质、体积、表面积以及空间向量的运算，尤其是与坐标系结合的问题。

例题3：

在空间直角坐标系中，已知点 A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(7, 8, 9)，求向量 $ \vec{AB} $ 和 $ \vec{AC} $ 的夹角。

解析：

先求两个向量：

- $ \vec{AB} = (4 - 1, 5 - 2, 6 - 3) = (3, 3, 3) $

- $ \vec{AC} = (7 - 1, 8 - 2, 9 - 3) = (6, 6, 6) $

向量夹角公式为：

$$

\cos\theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}

$$

计算点积：

$$

\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \times 6 + 3 \times 6 + 3 \times 6 = 54

$$

模长：

$$

$$

$$

$$

所以：

$$

\cos\theta = \frac{54}{3\sqrt{3} \times 6\sqrt{3}} = \frac{54}{54} = 1

$$

即夹角为 $ 0^\circ $，说明两向量方向相同。

四、概率与统计

概率与统计部分常见于选择题或填空题，涉及古典概型、条件概率、期望、方差等知识点。

例题4：

一个不透明的袋子里有红球3个，蓝球2个，黄球5个。从中随机取出一个球，求取出的是红球或蓝球的概率。

解析：

总球数为 $ 3 + 2 + 5 = 10 $，红球或蓝球共有 $ 3 + 2 = 5 $ 个。

因此，所求概率为：

$$

P = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

$$

五、圆锥曲线与解析几何

圆锥曲线是高考中的难点之一，涉及椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质。

例题5：

已知抛物线 $ y^2 = 4ax $ 的焦点为 F，准线为 l，若点 P 在抛物线上，且 PF = 5，求点 P 到准线的距离。

解析：

抛物线 $ y^2 = 4ax $ 的焦点为 $ (a, 0) $，准线为 $ x = -a $。

根据抛物线定义，点 P 到焦点的距离等于它到准线的距离。

因此，PF = 5，说明点 P 到准线的距离也为 5。

结语

以上是2024年高考数学中常见的几类必考题型及典型例题。希望同学们能够通过这些题目加深对知识点的理解，提升解题技巧。在复习过程中，建议注重基础、强化训练、查漏补缺，争取在高考中取得理想成绩。