【回归平方和】在统计学中，回归平方和（Sum of Squares due to Regression，简称SSR）是一个重要的概念，用于衡量回归模型对因变量（响应变量）的解释能力。它表示的是通过回归模型所解释的总变异部分，是评估模型拟合优度的重要指标之一。
一、什么是回归平方和？
回归平方和（SSR）是回归模型预测值与因变量均值之间的差的平方和。其计算公式如下：
$$
SSR = \sum ( \hat{y}_i - \bar{y} )^2
$$
其中：
- $\hat{y}_i$ 是第 $i$ 个观测值的预测值；
- $\bar{y}$ 是因变量的样本均值。
SSR 越大，说明模型对数据的解释能力越强，即回归模型能更好地捕捉到因变量的变化趋势。
二、回归平方和与其他平方和的关系
在回归分析中，通常会将总平方和（SST）分解为回归平方和（SSR）和残差平方和（SSE），即：
$$
SST = SSR + SSE
$$
其中：
- 总平方和（SST）：表示因变量的总变异，计算公式为 $\sum (y_i - \bar{y})^2$；
- 残差平方和（SSE）：表示模型未能解释的变异，计算公式为 $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$。
通过比较这些平方和的大小，可以判断模型的拟合效果。
三、回归平方和的意义
1. 衡量模型的解释能力
SSR 越大，说明模型对因变量的解释力越强。
2. 用于计算决定系数（R²）
决定系数 $R^2$ 的计算公式为：
$$
R^2 = \frac{SSR}{SST}
$$
$R^2$ 的取值范围在0到1之间，数值越大，说明模型的拟合效果越好。
3. 评估模型的合理性
如果 SSR 远小于 SST，则说明模型对数据的解释能力较弱，可能需要重新选择变量或调整模型结构。
四、表格总结
| 概念 | 定义 | 公式 | 作用 |
| 回归平方和（SSR） | 回归模型解释的变异部分 | $\sum (\hat{y}_i - \bar{y})^2$ | 衡量模型对因变量的解释能力 |
| 总平方和（SST） | 因变量的总变异 | $\sum (y_i - \bar{y})^2$ | 表示数据的总体波动 |
| 残差平方和（SSE） | 模型未解释的变异部分 | $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ | 反映模型的误差程度 |
| 决定系数（R²） | 模型解释的变异比例 | $R^2 = \frac{SSR}{SST}$ | 评估模型的拟合优度 |
五、小结
回归平方和（SSR）是回归分析中的核心指标之一，它反映了模型对数据变化的解释能力。通过对比 SSR 与 SST 的关系，可以更直观地理解模型的拟合效果。在实际应用中，结合其他统计量如 R² 和 SSE，可以更全面地评估模型的表现。
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