【专升本高数公式大全】在专升本考试中，高等数学（简称“高数”）是很多考生面临的重要科目之一。它不仅是考试的重点内容，也是许多专业后续学习的基础。对于备考的同学们来说，掌握并熟练运用高数中的各种公式，是提高成绩的关键。本文将为大家整理一份实用、系统的“专升本高数公式大全”，帮助大家在复习过程中更高效地掌握知识点。
一、函数与极限
1. 函数的基本概念
- 函数定义：设 A、B 是两个非空实数集合，若存在一个对应法则 f，使得对每个 x ∈ A，都有唯一确定的 y ∈ B 与之对应，则称 f 是从 A 到 B 的函数，记作 y = f(x)。
2. 极限的定义
- 当 x 趋于 x₀ 时，f(x) 的极限为 L，记作：
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = L
$$
3. 常用极限公式
- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
- $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$
二、导数与微分
1. 导数定义
- 若函数 f(x) 在 x₀ 处可导，则其导数为：
$$
f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
$$
2. 基本求导公式
- $(x^n)' = nx^{n-1}$
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $(e^x)' = e^x$
- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
3. 导数运算法则
- $(u \pm v)' = u' \pm v'$
- $(uv)' = u'v + uv'$
- $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
4. 高阶导数
- 二阶导数：$f''(x) = [f'(x)]'$
- 三阶导数：$f'''(x) = [f''(x)]'$
三、积分与不定积分
1. 不定积分定义
- 若 F'(x) = f(x)，则称 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，且：
$$
\int f(x) \, dx = F(x) + C
$$
2. 基本积分公式
- $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （n ≠ -1）
- $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
- $\int \cos x \, dx = \sin x + C$
- $\int e^x \, dx = e^x + C$
- $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$
3. 换元积分法
- 设 u = g(x)，则：
$$
\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du
$$
4. 分部积分法
- $\int u \, dv = uv - \int v \, du$
四、定积分与应用
1. 定积分定义
- $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$，其中 F(x) 是 f(x) 的一个原函数。
2. 定积分性质
- $\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$
- $\int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx$
3. 微积分基本定理
- 若 f(x) 在 [a, b] 上连续，则函数 $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ 在 [a, b] 上可导，且 $F'(x) = f(x)$。
五、多元函数微积分（部分）
1. 偏导数
- 对 x 求偏导：$\frac{\partial f}{\partial x}$
- 对 y 求偏导：$\frac{\partial f}{\partial y}$
2. 全微分
- 若 z = f(x, y)，则：
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
$$
3. 二重积分
- $\iint_D f(x, y) \, dA = \int_a^b \int_c^d f(x, y) \, dy \, dx$
六、常用三角函数公式
1. 基本关系式：
- $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
- $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
2. 和角公式：
- $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$
- $\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$
3. 倍角公式：
- $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$
- $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$
七、常用数列与级数
1. 等差数列：
- 通项公式：$a_n = a_1 + (n - 1)d$
- 求和公式：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$
2. 等比数列：
- 通项公式：$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
- 求和公式：$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$（r ≠ 1）
3. 常见级数收敛条件：
- 等比级数：当 |r| < 1 时，$\sum_{n=0}^\infty ar^n$ 收敛；
- p-级数：当 p > 1 时，$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 收敛。
结语
以上就是一份全面的“专升本高数公式大全”。这些公式是专升本高数考试的核心内容，掌握它们不仅有助于提高解题速度，也能增强对知识的理解和应用能力。建议同学们在复习过程中不断巩固，结合练习题加深记忆，做到灵活运用。
希望这份资料能够成为你备考路上的得力助手，祝你在专升本考试中取得理想的成绩！
